Математика покера. Часть 1

eLANin +1030 811104

The Mathematics of Poker by Lx12 (от 2010-02-09)


1. ВВЕДЕНИЕ


"Что у покера общего с математикой? Я ведь ненавижу математику!"


Любим мы ее или нет, знаем мы ее или не знаем, а математика управляет каждым нашим решением за покерным столом. Дэвид Склански писал:

"Всякий раз, когда вы разыгрываете комбинацию отлично от того, как вы бы играли, если бы видели карты всех ваших противников, они выигрывают; и всякий раз, когда вы разыгрываете комбинацию так, как поступили бы, видя все их карты, они проигрывают. И наоборот: всякий раз, когда оппоненты разыгрывают свои комбинации отлично от того, как они бы это сделали, видя все ваши карты, вы выигрываете; и всякий раз, когда они разыгрывают руки таким же образом, как если бы видели все ваши карты, вы проигрываете."


Хотя эта цитата и написана простым литературным языком, основана она на математических принципах. Основная идея заключается в том, что если бы мы могли видеть карты оппонента, мы бы действовали с максимальным математическим ожиданием ожиданием (EV), т.е. принимали математически оптимальное решение. Для тех, кто не знает, что такое математическое ожидание (EV) - это средний доход который мы ожидаем получить для определенного сценария. Например, мы бросаем монетку и если выпадает решка вы мне платите 3 бакса, а когда выпадает орел - я плачу вам - 1. Мое математическое ожидание составит 0,5х3 - 0,5х1 = 1$. Следует заметить, что ваше EV в этом случае составит - 1 доллар, так как дeньги никуда не исчезают (покера это не касается, так как все платят рейк). Какой из этого можно сделать вывод - если один или несколько игроков имеют положительное ожидание (или +EV), то остальные игроки будут иметь отрицательное ожидание (-EV). Всё это важно, потому что каждый раз когда ваш оппонент действует с -EV, ваши действия становятся +EV (математически прибыльными).(При условии что вы играете вдвоем).


Конечно же невозможно достоверно знать карты оппонента, поэтому мы используем концепцию диапазонов. Многие конечно уже знают что такое диапазон, а для тех, кто в танке объясняю: даипазон - это просто все карты, которые вероятно могут быть у вашего оппонента (ну или у вас).


Например, если регуляр со статами 14/12 рейзит из ранней позиции (UTG), вероятно, что у него АА, но это еще не все, что у него может быть, более вероятно, что он будет рейзить со следующими картами АА - 99, АК, AQ, а иногда с одномастными коннекторами и мелкими карманными парами для балансировки и обмана (маскировки). Это значит, что диапазон этого игрока в данном случае (диапазоны не статичны) AA - 99, AK, AQ (плюс некоторые другие руки, используемые для баланса). Теперь, когда мы имеем представление о диапазоне начинается настоящее веселье.


Необходимыми предпосылками для "веселья" будут:

1. Умение использовать PokerStove (См. COTW 1 : Equity Exploration)

2. Умение использовать StoxCombo {Эта штука уже не поддерживается, прим.перев.}

3. Базовые знания алгебры (уверен, что все ее знают)

4. Понимание понятия EV (Значение x вероятность).

5. Терпение (это главное – математика не так сложна, но важно понимать как мы получили ту или иную формулу, также из-за большого количества переменных формулы получаются достаточно длинными).


2. Игра на префлопе


Не помню, говорил я уже или нет, но наши префлоп-стратегии содержат уйму математики, и это в сочетании с очень ограниченым количеством доступной информации. И, следовательно, математические выводы в лучшем случае не точны. Нельзя сказать, что математика не важна, она важна без сомнения, но следует заметить что из-за ширины диапазонов большинства игроков на префлопе шансы ошибится достаточно велики.


2.1 Входим в банк, когда ходить осталось одному игроку.


Итак, проиллюстрируем это. Вы на малом блайнде и до вас все сбросили. Что же вам делать? Ответ в том, как и все в покере, - все зависит от ситуации. Пока решение не очевидно, определим нашу задачу как: сыграть так, чтобы в среднем максимизировать наше EV. Итак какие же факторы имеют значение при выборе наилучшего сценария розыгрыша? 

Ответ: 

  • Размер стека (чем глубже стек, тем больше наши предполагаемые оддсы, которые по сути являются шансами нашего оппонета на ошибку, что в свою очередь увеличивает наше EV),
  • диапазон оппонента (который в свою очередь зависит от вашего диапазона, вашего имиджа, ваших предыдущих действий и т.д.),
  • и тенденции вашего оппонента на пост-флопе (особенно важный фактор, который позволяет вам играть по сценарию, максимизирующему ваше EV заставляя вашего оппонета ошибаться).
  • Заметьте, что диапазон вашего оппонента важен потому, что он определяет EV рук, которые мы можем разыгрывать.Я знаю что это простые и понятные вещи для регуляров 2+2, но важно понимать не только математическое обоснование, но и то почему эти концепции важны.


Примечание: В следующих математических примерах предполагается, что розыгрыш после флопа не проводиться, т.е. предполагаемые оддсы не рассматриваются и т.д. Все примеры могут быть адаптированы к конкретным ситуациям, с учетом предполагаемых оддсов.


Теория:


Предположим, что мы на малом блайнде и рейзим до 3ББ (эффективные стеки составляют 100ББ). Это означает, что мы инвестируем 2.5ББ (в дополнение к 0.5ББ,  которые мы уже поставили) чтобы выиграть 1.5ББ (потому, что как только мы поставили малый блайн, он нам уже не принадлежит, а принадлежит тому, кто выиграет банк).

Предпосылки:

1. Наш оппонент на ?малом? {Похоже автор ошибся,просится "большом".прим.перев.} блайнде будет коллировать с С% рук

2. Наш оппонент будет 3-бетить (рейзить) до 10ББ с R% рук

3. Это значит что он фолдит (100-С-R)% рук

4. Когда нас коллирует большой блайнд наше эквити составляет Е

5. Мы не можем прибыльно коллировать 3-бет без позиции, т.е. мы должны либо, повышать либо сбрасывать

6. Мы буде 4-бетить до 35ББ с В% рук

7. Наш оппонент в ответ на наш 4-бет либо сбросит, либо 5-бетит с S% рук

8. Мы будем коллировать 5-бет с чатостотой F%

9. Когда мы отвечаем на 5-бет, наше эквити составит V%


Теперь, у нас есть три варианта после нашего рейза:

1. Наш оппонент сбрасывает: Что дает нам EV=1,5(1-C-R) (NB: проценты нужно перевестив десятичные дроби)

2. Наш оппонет коллирует. Имеем два результата:

а) Мы выигрываем 3,5ББ, EV=3,5*С*E

б) Мы проигрываем 2,5ББ, EV=-2,5*(1-Е), что эквивалентно EV=2,5*(Е-1).Сумма этих двух значений составит EV=С*(6Е-2,5)

3. Наш оппонет повышает до 10ББ. Имеем два варианта действий:

а) Фолд: EV=-2.5(R-B), что эквивалентно EV=2.5(B-R)

б) Рейзим до 35ББ. Теперь у нашего оппонента два варианта действий:

i. Фолд: EV=10(R-S)

ii.Рейз Ол-ин. Дает нам два варианта:

1. Колл: снова два варианта событий:

а) Мы выигрываем 100.5ББ, EV=100.5FV

б) Мы проигрываем 99,5ББ, EV=-99.5F(1-V), то же что и EV=100F(V-1). Сумма двух ожиданий EV=F(200V-99.5)

2. Фолд: EV=-35(B-F), то же что и EV=35(F-B)


Отсюда следует, что общая EV рейза составит:

EV=1.5(1-C-R)+ C(6E-2.5)+2.5(B-R)+ 10(R-S)+ F(200V-99.5)+35(F-B) – Фомула 1


Знаю, что формула длинная чтобы считать ее во время раздачи, но она достаточно полезна чтобы измеренить совокупное эквити против оппонента и следовательно определения оптимальной стратегии против него.


Пример:


Предположим, что наш оппонент - игром со следующими диапазонами:

Колл: TT-22,AJs-A2s,K9s+,Q9s+,J9s+,T8s+,97s+,87s,76s,65s,AJo-A2o,K9o+,Q9o+,J9o+,T9o и т.д. C=0.300

Рейз: JJ+,AQs+,AQo+ и т.д. R=0.042

Пуш: QQ+, AK и т.д. S=0.026 


Оставшиеся неизвестные: E, B, F и V

Дождавшись первого пуш, мы сможем определеить F и V.


К моментку когда наш оппонент запушит, банк составит 135ББ и у нас останется еще 65ББ. Это значит что наши шансы банка составят 135:65 или около 2:1 с учетом рейка (5ББ). Следовательно нам надо 33,3% еквити, чтобы сыграть безубыточно (в ноль).


Против диапазона {QQ+ и AK}, диапазон {22+, AK} имеет достаточно эквити чтобы коллить пуш.

NB: Предполагается, что мы фактически 4-бетим с 22 и показываем самый широкий диапазон. Рассмотрим это позже.


В этом случае, при указанной ширине нашего диапазона, F=0.071 и V=0.395.


И здесь некоторые из вас могут воскликнуть:"Что?! Вы не можете коллировать 5-бет пуш всего лишь с 22!" Но важно понять, что предполагая что мы 4-бетим с диапазоном 22 - JJ, для нас нет разницы 22 или JJ. 


Осталось две неизвестных B и E.


Вычислить B достаточно просто. Если рука попадает в наш дипазон пуш-колла, можем ли мы прибыльно 4-бетить с ней?


JJ и 22 имеют приблизительно 35% эквити против пуш-диапазона нашего оппонента, это означает, что если мы выберем 4-бет, то мы можем коллировать его пуш. Давайте рассчитаем какое эквити нам нужно иметь против диапазона пуша оппонента, собираясь коллить его пуш.

1. Либо мы выигрываем 13ББ, если наш оппонет сбросит и это произойдет (R-S)/R раз, поэтому EV=13(R-S)/R

2. Наш оппонет ставит 5-бет и мы коллируем его S/R раз:

а. Мы выигрываем 113ББ V раз

б. Мы проигрываем 87ББ (1-V) раз

Наше совокупное EV=13(R-S)/R+S(200V-87)/R - Формула 2


Чтобы сделать наш 4-бет/колл хотя бы беспроигрышным EV=0: R=0.042, S=0.026

0=13(0.042-0.026)/0.042+0.026(200V-87)/0.042

0=4.95+123.81V-53.86

0=-48.91+123.81V

123.81V=48.91

V=39.5%


Из этого следует, что мы не можем 4-бетить и коллить с 22-JJ, но можем с QQ, которые имеют 40.2% эквити против диапазона нашего оппонента. Поэтому подходящим диапазоном 4-бета и колла будет {QQ+, AK}, что даст нам V=0.500 и F=0.026.


Возникает вопрос: можем ли мы 4-бетить с рукой, которую мы бы сбросили в ответ на пуш? Ответ зависит только от одной единственной вещи {Автор задает слишком много риторических вопросов, самы тупые в пepевoде опущены.Прим.перев} - получим ли мы достаточно фолдов от диапазона 3-бета оппонента, т.е. если оппонет 3-бетит достаточное количесво рук, на которые бы мы сбросились на 4-бете. Следует заметить, что это зависит исключитель от значения S/R и не зависит от силы руки. Все эти сложные выкладки подтверждают концепцию лайтового 4-бета - вы можете прибыльно использовать его, пока оппонет не применяет лайтовый 3-бет.


Кое-кто может возразить: "Если не 4-бетим с блефом, не будем ли мы эксплуатирумы?" Да, будем, с технической точки зрения, но практически мы экплуатируем склонность нашего оппонета никогда е 3-или 4-бетить лайтово. Поступая таким образом, мы сами отклоняемся от математически оптимальной стратегиии и становимся эксплуатируемы. Еще о противостоянии ошибок см. Склански. Безлимитный Холдем: Теория и практика.


В этом случае, не похоже чтобы наш оппонент лайтово 3-бетил. Мое шестое чувство подсказывает мне, что F=B.


Чтобы разобраться, должны ли мы лайтово 4-бетить, нам нужно разобраться как часто он сбросит. Когда мы получили 3-бет, банк составлял 13ББ и рассматриваем инвестировать ли нам еще 32ББ, чтобы выиграть эти 13ББ. Каждый раз, когда наш оппонент сбрасывает (обозначим как О) мы выигрываем 13ББ, в остальных случаях мы теряем 32ББ.


13O-32(1-O)>0

13O-32+32O>0

45O>32

O>32/45 что равняется 0.711 или 71.1%


Это означает, что наш 4-бет будет прибыльнымным, если опонент будет сбрасывать в 71.1% случаев.


Напомню, O=(R-S)/R где O>0.711 – Формула 3

В этом случае O=(0.042-0.026)/0.042=0.381<0.711

Так как B=F=0.026


Теперь нам неизвестна только E.


Здесь всё просто, так как EV рейза и фолда на 3-бет равно EV=1.5(1-C-R)+C(6E-2.5)-2.5R


В этом случае EV=1.5(1-0.300-0.042)+0.300X(6E-2.5)-2.5X0.042

0=0.987+1.8E-0.75-0.105

0=1.8E+0.132

E=-0.07


Это означает, что мы можем рейзить/фолдить прибыльно с любыми двумя картами! Наше эквити против диапазона нашего оппонента в случае колла составляет 41.5%, Е=0.415.

 

Подставим значения в Формулу 1:


EV=1.5(1-C-R)+ C(6E-2.5)+2.5(B-R)+ 10(R-S)+F(200V-99.5)+35(F-B)

C=0.300, R=0.042, E=0.415, B=0.026, S=0.026, F=0.026, V=0.500

EV=1.5(1-0.300-0.042)+0.300X(6X0.415-2.5)+2.5(0.026-0.042)+10(0.042-0.026)+0.026X(200X0.500-99.5)+35(0.026-0.026)

EV=1.117ББ


Это, конечно не 1.5ББ, но все равно приятно.

Следует заметить, что дипазоны не статичны, т.е. постоянно меняются. Это означает, что оптимальный розыгрыш справедлив только для конкретной руки и конкретной раздачи. В следующий раз, когда вы будете на малом блайнде и до вас все сбросят, диапазоны колла и рейза оппонента на большом блайнде могут подстроиться по ваш диапазон открытия.


Примеры:


Вы в SB и все до вас сбросили. Используя приведенные выше допущения, найдем оптимальные диапазоны рейза, 4-бета и пуш-колла против оппонента со следующим диапазоном:

Call: 99-77,AJs-A2s,K2s+,Q6s+,J6s+,T6s+,96s+,AJo-A2o,K2o+,Q7o+,J7o+,T7o+,97o+,87o

Raise: TT+,66-22,AQs+,87s,75s+,64s+,54s,43s,32s,AQo+

Shove: TT+,AQs+,AQo+


C=0.462

R=0.094

S=0.047


Формула 1: EV=1.5(1-C-R)+ C(6E-2.5)+2.5(B-R)+ 10(R-S)+ F(200V-99.5)+35(F-B)


Неизвестные: E, B, F и V.


Рассмотрев пуш-колл, мы сможем определить F и V.


Когда наш оппонет запушит, размер банка составит 135ББ и у нас останется 65ББ. Это значит что наши шансы банка составят 135:65 или около 2:1 с учетом рейка (5ББ). Следовательно нам надо 33,3% еквити, чтобы сыграть безубыточно.


Чтобы коллировать пуш против дипазона {TT+ и AQ+}, диапазон {22+, AQ+} имеет достаточно эквити. 


Формула 2: EV=13(R-S)/R+113VS/R+87(V-1)S/R


0=13(0.094-0.047)/0.094+113VX0.047/0.094+87(V-1)X0.047/0.094

0=6.5+56.5V+43.5V-43.5

100V=37

V=37.00%


Это значит, что мы можем прибыльно 4-бетить или пуш-коллить с {55+, AK и AQs} (Заметьте, что 99-55 лишь немного более +EV и таким образом с ними следует рассмтаривать вариант фолда, чтобы снизить дисперсию в связи с ограниченностью нашего банкрола).


Насколько шире мы можем 4-бетить/пуш-коллить, если диапазон 3-бета оппонента будет поляризован?


Можем ли мы прибыльно 4-бетить/фолдить?


Формула 3: O=(R-S)/R где O>0.711


O=(0.094-0.047)/0.094

O=0.500>0.711


Здесь условие не выполняется, поэтому мы не можем прибыльно 4-бетить с блефом против этого оппонента. Отсюда B=F.


B=F=0.060 и V=0.464.


Осталось определить Е.


EV рейза или фолда на 3-бет is: EV=1.5(1-C-R)+C(6E-2.5)-2.5R


В этом случае EV=1.5(1-0.462-0.094)+0.462X(6E-2.5)-2.5X0.094

0=0.666+2.772E-1.155-0.235

0=2.772E-0.724

E=26.1%


Это означает, что мы все еще можем открывать с любыми двумя картами! Наше среднее Е=0.440.


Подставим значения в Формулу 1:


EV=1.5(1-C-R)+ C(6E-2.5)+2.5(B-R)+ 10(R-S)+ F(200V-99.5)+35(F-B) 

где C=0.462, R=0.094, S=0.047, B=F=0.060, V=0.464

EV=1.5(1-0.462-0.094)+0.462(6E-2.5)+2.5(0.060-0.094)+10(0.094-0.047)+0.060X(200X0.464-99.5)+35(0.060-0.060)


EV=0.71ББ


Заметьте, как уменьшилась наша прибыль против этого оппонента, из-за того, что его стратегия менее эксплуатируема, чем у предыдущего оппонента. Так же следует отметить, что игра против этого противника имеет намного больше вариаций. Также значение нашего Е будет меньше, чем теоретически рассчитанное, потому на пост-флопе мы будем играть без позиции.


Продолжение следует.

100

Бонусы Pokeroff

Holdem Manager 2 в подарок!
VIP
Групповые тренировки с ПРО
Курс МТТ от гения
8 комментариев
    Добавить комментарий
    Комментировать без регистрации
      

    На указанную почту придет ссылка для подтверждения

    Отменить

    Узнай первым
    о важных новостях

    Мы будем присылать уведомления
    горячих новостях и статьях!

    Так будут выглядеть оповещения, которые появятся на экране.

    Хочу знать!Буду оставаться в неведении

    Livechat